Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Щетиновская средняя общеобразовательная школа»

                        Содержание.

1.     Введение.

2.     Определение простых чисел

3.     Способы нахождения простых чисел

4.     Применение простых чисел

5.     Неразрешенные загадки тысячелетия

6.     И в заключении.

7.     Список литературы.

1.   Введение.

Цель: исследовать применение простых чисел в жизни человека.

Задачи :

~       Дать определение простому числу.

~       Понять принцип выделения простых чисел из натурального ряда.

~       Изучить применение простых чисел на практике.

Простые числа - одно из чудес математики и ... загадка с более чем 2000-летней историей. Простые числа - столп всех систем криптографии. Многие проблемы, связанные с этими числами, не решены до сих пор. Кроме того, они имеют не только практичное, но и глубокое философское значение.

2.     Определение простого числа

Простые числа представляют собой одно из самых интересных математических явлений, которое привлекает к себе внимание ученых и простых граждан на протяжении уже более двух тысячелетий. Несмотря на то, что сейчас мы живем в век компьютеров и самых современных информационных программ, многие загадки простых чисел не решены до сих пор, есть даже такие, к которым ученые не знают, как подступиться.

 Простые числа - это, как известно еще из курса элементарной арифметики, те натуральные числа, которые делятся без остатка только на единицу и самое себя.

Кстати, если натуральное число делится, кроме выше перечисленных, еще на какое-либо число, то оно именуется составным. Одна из самых знаменитых теорем гласит, что любое составное число может быть представлено в виде единственно возможного произведения простых чисел. Несколько любопытных фактов. Во-первых, единица является уникальной в том плане, что, по сути, не принадлежит ни к простым, ни к составным числам. В то же время в научной среде все же принято относить ее именно к первой группе, так как формально она полностью удовлетворяет ее требованиям. Во-вторых, единственным четным числом, затесавшимся в группу «простые числа» является, естественно, двойка. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два. Простые числа, список которых, как было указано выше, можно начинать с единицы, представляют собой бесконечный ряд, такой же бесконечный, как и ряд натуральных чисел. Опираясь на основную теорему арифметики, можно прийти к выводу, что простые числа никогда не прерываются и никогда не заканчиваются, так как в противном случае неизбежно прервался бы и ряд натуральных чисел. Простые числа не появляются в натуральном ряду беспорядочно, как это может показаться на первый взгляд. Внимательно проанализировав их, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытные из которых связаны с так называемыми числами-«близнецами». Называют их так потому, что каким-то непостижимым образом они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным разграничителем (пять и семь, семнадцать и девятнадцать). Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем. Более того, при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого – единица. Кроме того, само распределение этих чисел по натуральному ряду можно спрогнозировать, если представить весь этот ряд в виде колебательных синусоид, основные точки которых образуются при делении чисел на три и два. Простые числа являются не только объектом пристального рассмотрения со стороны математиков всего мира, но уже давно и успешно используются в составлении различных рядов чисел, что является основой, в том числе, для шифрографии. При этом следует признать, что огромное количество загадок, связанных с этими замечательными элементами, все еще ждут своих разгадок, многие вопросы имеют не только философское, но и практичное значение

3.     Способы нахождения простых чисел.

Первый, кто занимался  задачей  «выписать из множества натуральных чисел  простые», был великий математик древности  Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Он  придумал такой способ: записал все числа от единицы до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.), в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Есть еще много способов нахождения простых чисел, например простые числа Мерсенна – это  числа специального вида

М_р = 2^p - 1,

где р — другое простое число. Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о совершенных числах. Свое название они получили в честь французского монаха Мерена Мерсенна (1588–1648), который много занимался проблемой совершенных чисел.

Если начать вычислять числа для различных простых чисел р, то видно, что не все они оказываются простыми. Например,

М₂ = 2² — 1 = 3 = простое,

М₃ = 2³ — 1 = 7 = простое,

М₅ = 2⁵ — 1 = 31 = простое,

М₇ = 2⁷ — 1 = 127 = простое,

М₁₁ = 2¹¹ — 1 = 2047 = 23 * 89 – составное, а значит не всегда верно!!!

Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601–1665), который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами Ферма являются

F₀ = 2^2° + 1 = 3,

F₁ = 2^2¹+ 1 = 5,

F₂ = 2^2² + 1 = 17,

F₃ = 2^2³ + 1 = 257,

F₄ = 2^2ˆ4 + 1 = 65 537.

В соответствии с этой последовательностью общая формула для простых чисел Ферма должна иметь вид

F_n = 2^2ⁿ+1. (2.3.1)

Ферма был абсолютно уверен, что все числа этого вида являются простыми, хотя он не проводил вычислений других чисел, кроме указанных пяти. Однако это предположение было сдано в архив не оправдавшихся математических гипотез после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма

F₅ = 4 294 967 297 = 641 * 6 700 417

не является простым, что и показывает приведенная запись.

4.     Применение простых чисел

Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр. Давайте попробуем проиллюстрировать проблему, с которой сталкивается дешифровщик для расшифровки некоего пароля. Допустим, паролем является один из делителей составного числа, а дешифровщиком выступает человек. Возьмем число из первого десятка, например, 8. Каждый (я надеюсь) человек способен в уме разложить число 8 на простые множители – 8=2*2*2. Усложним задачу: возьмем число из первой сотни, например, 111. В этом случае 111 быстро разложат в уме на множители люди, знающие признаки делимости числа на 3 (если сумма цифр числа кратна 3, то данное число делится на 3), и действительно - 111=3*37. Усложняя задачу, возьмем число из первой тысячи, например 1207. Человеку (без использования машинной обработки) потребуется, как минимум, бумага и ручка, для того чтобы перепробовать деление числа 1207 на «все» предшествующие этому числу простые числа. И только перебрав последовательно деление 1207 на все простые числа от 2 до 17 человек, наконец то, получит второй целый делитель данного числа – 71. Однако и 71 необходимо так же проверить на простоту.

Становится понятно, что с увеличением разрядности чисел, например, пятизначного числа - 10001, разложение (в нашем примере дешифровка пароля) без машинной обработки займет большое количество времени. Современный этап развития компьютерной техники (доступный рядовому пользователю) позволяет за считанные секунды раскладывать на множители числа, состоящие из шестидесяти цифр. Например, число

154789632113546873655345754321548435132353453432415453453121

интернет проект «Империя чисел» раскладывает менее чем за 10 секунд и выдает ответ:

154789632113546873655345754321548435132353453432415453453121=
=13*10651*932121816911*40192385205666881251*29839509365380853006747

 Задумайтесь, сколько жизней должен прожить человек, чтобы разложить данное число на простые множители без помощи машин!

На сегодняшний день разложить числа, состоящие из тысячи и более цифр, за соизмеримое с человеческой жизнью время, способны только суперкомпьютеры! Именно с их помощью ученные находят все новые и новые, наибольшие из известных, простые числа.

Теперь, когда мы узнали о сложностях факторизации больших чисел, попробуем продемонстрировать, с помощью обыденного примера, суть проблемы простых чисел:

Один человек, зашифровав важную информацию, установил на нее пароль (P) равный одному из простых делителей числа (А), сказав другому человеку, что число (А) содержит только два простых делителя и дав ему ключ для расшифровки – число (B), являющееся вторым делителем числа (А). Не трудно понять, что для расшифровки необходимо разделить А на B, чтобы получить пароль Р. Например в элементарном варианте А=111, ключ B=3 тогда пароль равен А/B=37.

Допустим, число А попало к злоумышленнику, и он знает условие о том, что А состоит из 2-х простых делителей. При условии, что А=111 злоумышленнику не составит особого труда даже в уме взломать пароль. Теперь представим ситуацию когда число А состоит из 2 простых чисел, каждое из которых состоит из тысячи цифр… Если злоумышленник не знает ключа (одного из делителей), для факторизации числа А, состоящего из двух тысяч цифр, ему потребуется, как минимум, суперкомпьютер и большое количество времени его работы!!!

5.     Неразрешенные загадки тысячелетия

Однако, зная некие закономерности распределения простых чисел в натуральном ряду или некую гипотетическую формулу, связывающие число А с ее простыми делителями, злоумышленнику не пришлось бы с таким трудом раскладывать число А. Можно было бы просто воспользоваться этой формулой. Вот здесь мы и подошли к пониманию сути проблемы простых чисел – НЕТ 100% ДОКАЗАННЫХ ФОРМУЛ И ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ОПИСЫВАЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В БЕСКОНЕЧНОМ НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ!!!

Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен, Сундарам предложили первые алгоритмы тестирования чисел на простоту. Эйлер, Ферма, Лежандр и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

6.     И в заключении.

«Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?» 

«Этюды для программистов» Чарльз Уэзерелл

7.     Литература

1.            Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. — № 4. — С. 9-14,38.

2.            Математика. 6 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чеснаков, С.И. Шварцбурд. – 29-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2012.

3.            Интернет ресырсы:

http://www.numbernautics.ru/chislonautics/804-2012-05-25-14-38-53

http://fb.ru/article/60293/prostyie-chisla-obyidennost-nerazgadannoy-zagadki

http://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число

презентация к проекту